Standard deck-এ মোট:
52 cards
4 suits
13 cards per suit
প্রতিটি suit-এ 13টি করে card থাকে এবং মোট Ace আছে 4টি।
তাই একটি card randomভাবে তুললে Ace পাওয়ার probability:
$$P\left( \text{Ace} \right) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$অর্থাৎ, প্রায় 7.69% সম্ভাবনায় একটি random card Ace হবে।
Two Aces Without Replacement
এবার পরপর দুটি card তুলব এবং কোনো card আবার deck-এ ফেরত দেব না।
প্রথম card-টি Ace হওয়ার probability:
$$\frac{4}{52}$$প্রথম card Ace হলে deck-এ বাকি থাকবে:
51 cards
3 aces
তাই দ্বিতীয় card-টিও Ace হওয়ার probability:
$$\frac{3}{51}$$দুটি card-ই Ace হওয়ার probability:
$$P\left( 2\text{ Aces} \right) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51}$$ $$= \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$$এখানে দ্বিতীয় card-এর probability প্রথম card-এর ফলাফলের উপর নির্ভর করছে। কারণ প্রথমবার Ace পাওয়ার পর deck-এর composition পরিবর্তিত হয়েছে।
Without Replacement vs With Replacement
Without replacement হলে প্রথম draw-এর পর sample space এবং probability পরিবর্তিত হয়।
Without replacement
→ Deck changes
→ Probability changes
→ Events are dependent
অন্যদিকে, card তুলে আবার deck-এ ফেরত দিলে প্রতিবার deck আগের অবস্থায় ফিরে যায়।
With replacement
→ Deck resets
→ Probability remains the same
→ Events are independent
উদাহরণ:
একটি deck থেকে replacement ছাড়া পরপর দুইবার Ace পাওয়ার ক্ষেত্রে:
$$\frac{4}{52} \times \frac{3}{51}$$কিন্তু প্রতিবার card ফেরত দিলে:
$$\frac{4}{52} \times \frac{4}{52}$$তাই probability problem-এ replacement আছে কি না শুরুতেই খেয়াল করা গুরুত্বপূর্ণ।